Unidad 2

RELACIONES Y FUNCIONES

Objetivos: 

Que los y las estudiantes puedan: 

• Diferenciar las relaciones de las funciones
• Gráficar Funciones e identificar propiedades 
• Utilizar un software para gráficar diferentes tipos de funciones 
• Aplicar las funciones para resolver problemas prácticos.

Relaciones. 

Una relación es un conjunto de pares ordenados. Si los pares ordenados de una relación se denotan por (x,y). Entonces el conjunto de valores de x (o entradas) es el dominio y el conjunto de valores de y (o salidas) es el recorrido. 

Funciones y notación de funciones 

Una función de X a Y es una relación entre X y Y con la propiedad de que si dos elementos tienen el mismo valor de x, entonces también tiene el mismo valor de Y.

Muchas situaciones de la vida real pueden describirse usando funciones. 

Ejemplo 

Un empleado de una tienda de computadoras gana un 5% de comisión por cada computadora vendida. Cada computadora vale $800. Además el empleado gana una sueldo base de $300. Expresar el sueldo mensual del empleado en una función del número de computadoras vendidas. 

Precio de PC ----- $800 

5% del precio ---- $40

Sueldo ------------ $300

Numero de PC´s - X

f(x)= 300+(0.05)(800)x

f(x)= 300+40(x)

Definición de Función Real de Una variable Real

Sean X y Y conjuntos de numeros reales.

Una función real f de una variable real x de X a Y es una regla de correspondencia que asigna a cada número x de X exactamente un número de Y

Dominio y Recorrido

El dominio de una función puede describirse de manera explicita, o bien de la manera implícita mediante la ecuación empleada para definir la función. El implícito son todos los reales para los cuales esta definida la ecuación y el explicito se da junto con la ecuación.

   Gráfica de una Función

La gráfica de una función y = f(x) esta formado por todos los puntos (x, f(x)), donde x pertenece al dominio de f

Una recta vertical puede cortar una gráfica de una función de x como máximo una vez. Esta observación proporciona un criterio visual adecuado, llamado criterio de la recta vertical. 

Funciones crecientes

y decrecientes 

Es muy util saber donde sube la gráfica de una función y donde baja. La gráfica mostrada en la figura sube, baja y vuelve a subir conforme se va de izquierda a derecha. 

Definición de función creciente y decreciente.

f es creciente en un intervalo I si f(x1)<f(x2) siempre que x1<x2 en I

f es decreciente en un intervalo I si f(x1)>f(x2) siempre que x1<x2 en I

La grafica de la figura siguiente da el peso W de una persona a la edad x. Determinar los intervalos en los que la funcion W es creciente y en los que es decreciente.

Funciones par e impar 

La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje Y

La gráfica de una función Impar es simétrica respecto al origen.

Al graficar la función par f(x) = x^2 y la función impar f(x)=x^¨3 podemos observar la simetría.

 Funciones Exponenciales. 

La función exponencial es la forma f(x)= A^x donde a diferente de 1 y a>0 

Las características de las funciones exponenciales son:

• Su dominio son todos los reales y el recorrido son todos los reales positivos. 
• Si a > 1 la función es creciente y si 0< a < 1, la función es decreciente. 

Funciones Logarítmicas

Sea A un número positivo con A diferente de 1. La función logaritmica con base A, denotada por Log a se define 

Log a x = y si y solo si Ay = x

Asì log a x es el exponente al que se debe elevar la base a para obtener x. 

Cuando se usa la definición de logaritmos para intercambiar entre la forma logarítmica log a x = y y la forma exponencial Ay = x es util que, en ambas formas, la base es la misma. 

 Las formas logarítmicas y exponencial son ecuaciones equivalentes. Si una es cierta entonces la otra también lo es. 

Ilustracion. 

Gráfica de una función Logarítmica

Ejemplo: Bosqueje la gráfica de f(x) = log2 x 

Solución: Para construir una tabla de valores, se eligen los valores x como potencias de la base (la base es 2) de modo que se facil hallar los logaritmos. 

Logaritmo Común

Se le llama logaritmo Común al logaritmo base 10 

log x = log 10 x para x > 0

Logaritmo Natural 

La función exponencial natural esta dada por f(x) = e^x 

La función logaritmica con base e se llama función logaritmica natural. El simbolo ln x (léase "ele ene de x") es una abreviatura de log e x y nos referimos a ella como logarimo natural de x. 

Propiedades de los logaritmos.