Unidad 3

Funciones Polinomiales y Racionales 

Una función polinomial tiene la forma:

Si el coeficiente    se dice entonces que la función polinomial es de grado n, el número    se denomina coeficiente principal del polinomio.

Generalmente, a medida que  el grado aumenta, la gráfica es más complicada.

Se puede obtener una gráfica totalmente precisa utilizando el procedimiento sugerido a continuación:

1.Calcule ¦(-x) para determinar si la gráfica tiene alguna simetría.

2.Calcule el intersecto ¦(0) en y.

3.Factorice el polinomio.

4.Determine los intersectos en x, hallando las soluciones reales de la ecuación ¦(x) = 0.

5.Trace una recta numérica. Determine los signos   algebraicos de todos los factores entre los intersectos en x. Esto indicará dónde ¦(x) > 0 y donde ¦(x) < 0.

6.Grafique la función utilizando los resultados de los pasos 1 – 5 y marcando puntos adicionales donde sea necesario.

En los casos en los que ¦(x) son positivos (¦(x)>0), la gráfica de la función está por encima del eje x.

 

La gráfica de la función esta por debajo del eje x, en aquellos intervalos donde los valores de ¦(x) son   negativos (¦(x)< 0).

Ejemplo de División de Función Polinomial. 

Funciones racionales

Las funciones racionales se definen en términos de cocientes de polinomios. En general, una expresión R es una función racional sí:

.

g(x), h(x) son polinomios; el dominio de F es el conjunto de todos los números reales tales que h(x) ¹ 0. Las funciones racionales son continuas para todo valor de x, con excepción de aquellos para los que el denominador h(x) es cero.

Ejemplo

El dominio de f es el conjunto de todos los números reales, excepto 3, desde el 3 de cero hace que el denominador y la división por cero no está permitido en las matemáticas. Sin embargo, podemos tratar de averiguar cómo la gráfica de f se comporta cerca de 3.

Vamos a evaluar la función f en los valores de x cerca de 3 tal que x <3. Los valores se muestran en la tabla siguiente:

x	1	2	2,5	2,8	2,9	2,99	2,999	2,99999
f (x)	-1	-2	-4	-10	-20	-200	-2000	-2 * 10 5

Veamos ahora evaluar f en los valores de x cerca de 3 tal que x> 3.

x	5	4	3,5	3,2	3,1	3,01	3,001	3,00001
f (x)	1	2.	4	10	20	200	2000	2 * 10 5

La gráfica de f se muestra a continuación.

Asíntotas

Las rectas fijas a las que se aproxima una gráfica, se llaman asíntotas.

.

Asíntotas verticales

Se dice que una recta x = a es una asíntota vertical para la gráfica de una función ¦ sí.

Asíntotas horizontales

Sea R una función racional definida como cociente de dos polinomios de la forma:

1.- Sí m< n, el eje x (y = 0) es una asíntota  horizontal.

2.- Sí m =n, la recta y=am/bn es una asíntota horizontal.

   3.- Sí m > n, no hay asíntotas.